Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление




На правах рукописи


Уткина Лена Анатольевна


Характеристические граничные задачки для линейных уравнений высочайшего порядка со старшими личными производными


01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и наилучшее управление


АВТОРЕФЕРАТ


диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук


Казань  2011

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный институт”


^ Научный консультант: доктор физико-математических наук,

доктор

Жегалов Валентин Иванович


Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доктор

^ Кожанов Александр Иванович


доктор физико-математических наук,

доктор

Логинов Борис Владимирович


доктор физико Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление-математических наук,

доктор

^ Пулькина Людмила Степановна


Ведущая организация: ГОУ ВПО “Столичный муниципальный

институт им.М.В.Ломоносова”


Защита состоится «22» сентября 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный институт Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Доктора Нужина, 1/37, ауд.337.


С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный институт” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, 18.


Автореферат разослан «___» __________2011 г. и расположен на официальном веб-сайте ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный институт”: www.ksu.ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10

к.ф.-м.н., доцент Липачев Е.К.

Общая черта работы

Актуальность темы. Объектом Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление исследования в предлагаемой диссертации являются уравнения вида

, (1)

где - декартовы координаты точки x, , , , , , - целые неотрицательные числа, , - разыскиваемая, а , - известные функции.

При , данное уравнение вошло в математическую литературу под именованием Л.Бианки, который Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление сразу с О.Никколетти еще в 1895г. рассматривал его как многомерный аналог отлично известного в математической физике уравнения

. (2)

Исследование более сложных уравнений (1) в случаях кратного дифференцирования разыскиваемой функции по независящим переменным представляет собой Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление естественный предстоящий шаг на пути теоретических обобщений. Ценность получаемых при всем этом теоретических результатов значительно увеличивается в связи с тем, что подобные уравнения встречаются в приложениях. А конкретно, личные случаи (1) появляются при моделировании Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление процессов вибрации и играют существенную роль в теории аппроксимации, теории отображений, к ним сводится задачка интегрального представления преобразований одних обычных линейных дифференциальных операторов в другие. Такие уравнения встречаются в теории упругости, при исследовании Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление фильтрации воды в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании разных био процессов и явлений, при исследовании распространения волн в диспергирующих средах, также в теории хороших процессов и Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление оборотных задачках (см. библиографические ссылки в конце статьи1).

Посреди этих уравнений более известными являются обозначенное И.Н.Векуа уравнение извива узкой сферической оболочки

, (3)

также уравнения Аллера и Буссинеска – Лява

, .

1-ое из их обрисовывает Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление процесс переноса почвенной воды в зоне аэрации, а 2-ое встречается при исследовании продольных волн в узком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции и еще обрисовывает волновой процесс в повторяющихся слоистых Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление средах. К виду (1) относятся и поливибрационные уравнения Д.Манжерона.

Таким макаром, актуальность построения общей теории уравнений вида (1) обоснована как логикой развития теоретических исследовательских работ, так и востребованностью обсуждаемых уравнений в приложениях.

^ Степень Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление разработанности трудности.

После L.Bianci и O.Niccoletti разные вопросы, связанные с уравнениями вида (1) изучали за рубежом H.Bateman, E.Lahaye, H.Hornich, D.Mangeron, M.Ogustoreli, D.Colton, S.Easwaran, V.Radochova Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, A.Corduneany, W.Rundell, M.Stecher и др. В нашей стране энтузиазм к общему уравнению вида (1) при n=2 появился в связи с задачками теории упругости. Статьи Н.И.Мусхелишвили (1919г.) и И.Н Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.Векуа (1937г.) положили начало целому направлению исследовательских работ в данной области, развивавшемуся в течение ряда десятилетий до работ А.П.Солдатова, М.Х.Шханукова, О.М.Джохадзе и др.(1987 - 1996). При n Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление>2 публикаций на российском языке, посвященных уравнениям вида (1) было сравнимо мало: М.К.Фаге (с 1956г.), В.И.Жегалов с учениками (с 1990г.), В.Ф.Волкодавов с учениками (с 1993г.).

Фактически все вышеуказанные создатели, начиная Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление с Л.Бианки развивали в собственных исследовательских работах способ, предложенный в свое время Б.Риманом для уравнения (2), отправляясь от его традиционного варианта и внося в него те либо другие Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление конфигурации и дополнения. Так, М.К.Фаге2, отмечая, что «…Бианки и Никколетти разработали только формальную часть теории, не вдаваясь в аналитические детали…» представил вариант способа Римана, более соответственный современному уровню развития арифметики Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Тут же направляет на себя внимание некая самооценка создателя: «… исследование сопровождается достаточно сложными выкладками» (с.281). В заглавии же работы, прямо за Г.Бейтменом (1933г.) он употребляет термин «уравнение Бианки». В неких работах уравнения (1) назывались псевдопараболическими Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (первым такое заглавие использовал Д.Колтон (1972г.)).

Очередное видоизменение способа Римана было предложено И.Н.Векуа и А.В.Бицадзе: при решении основной характеристической задачки (Гурса) еще для уравнения (2) они заместо Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление основного дифференциального тождества Римана использовали соотношение

. (4)

В варианте способа Римана, предложенном для уравнения Бианки В.И.Жегаловым при n=3 (1990г.) и всераспространенном им вместе с В.А.Севастьяновым (1996,1997) на случай хоть какого Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление числа измерений n, были построены аналоги тождества (4). При всем этом было введено очередное изменение: функция Римана определялась не как решение сопряженного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, число которых очень стремительно возрастает с ростом n Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, как решение некого интегрального уравнения. Все это позволило получить значительно более прозрачную и лаконичную схему решения задач Гурса и Коши для уравнения Бианки, чем в работах предшественников. К тому же Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление появились дополнительные способности построения функций Римана в очевидном виде методом конкретного решения интегральных уравнений.

В конце концов, В.И.Жегаловым и А.Н.Мироновым для уравнения Бианки были изучены не считая задачки Гурса Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление и другие характеристические задачки, получаемые подменой граничных значений разыскиваемой функции значениями обычной производной от этой функции. Первым создателем в 1992г. было выяснено, что для уравнения (2) такие задачки являются содержательными исключительно в случаях, когда Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление хотя бы один из коэффициентов a, b, c не равен тождественно нулю, а их разрешимость приобретает в этих случаях вариантный нрав. Совместно со вторым создателем эти результаты в 2000г. были Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление всераспространены на трехмерный аналог уравнения (2). Потом А.Н.Миронов обобщил их на случай уравнений с .

В связи с вышеизложенным естественно появилась мысль обобщения обозначенных результатов В.И.Жегалова, В.А.Севастьянова Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление и А.Н.Миронова на уравнения (1) с кратным дифференцированием по независящим переменным при . Дальше, потому что (1) есть обобщение (2), целесообразным представлялось развитие других качеств исследования (2) с целью внедрения соответственных результатов к уравнению (1): исследование Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление нелокальных задач, задачки типа Дирихле, разработка каскадного способа.

^ Цели диссертационной работы:

1. Вывод основного дифференциального тождества и отыскание решения задачки Гурса для общего варианта уравнения (1).

2. Исследование задач для уравнения (1), получаемых из задачки Гурса методом увеличения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление порядка обычных производных в граничных критериях.

3. Отыскание вариантов корректно намеченных целей типа Дирихле для уравнений вида (1).

4. Постановка и исследование новых многомерных задач с нелокальными граничными критериями.

5. Выделение из класса уравнений вида (1) аналогов уравнения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Эйлера-Пуассона-Дарбу, разрешимых в очевидном виде с следующим решением для их граничных задач.

^ Методика исследования. Главным моментом является развитие способа Римана с целью его внедрения к общему уравнению (1), при всем Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление этом пришлось сочетать аналитический подход с компьютерным. Употребляются и другие способы из теории уравнений с личными производными: каскадного интегрирования и априорных оценок. Используются результаты из теории интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.

^ Научная новизна Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Все результаты диссертации являются новыми. Стержневую роль играет вывод формулы решения задачки Гурса для общего уравнения (1): эта формула употребляется в качестве общего представления решений, позволяя при определенных (получаемых в диссертации Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление) критериях редуцировать все задачки из 2-ой и третьей глав к задачке Гурса. Новизна содержится и в развиваемых тут способах Римана и Лапласа: область их внедрения значительно расширяется. Новейшей является высококачественная картина разрешимости рассматриваемых Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление задач, также выделяемые в работе случаи разрешимости в квадратурах.

^ Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический нрав, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с личными производными. Создателю представляется, что Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление имеются способности использования приобретенных результатов в качестве базы для последующих исследовательских работ. Не исключена возможность практических приложений.

^ Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского муниципального института, часть Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление была доложена на итоговых каждогодних научных конференциях КГУ за период с 1997 по 2010. Также был изготовлен доклад в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2002г.

Обзорные доклады по диссертации были изготовлены Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление:

в Институте арифметики им.С.Л.Соболева РАН в Новосибирске на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (управляющий проф. А.И.Кожанов) и по высококачественной теории дифференциальных уравнений (управляющий проф Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.В.С.Белоносов), 2004г.;

на семинаре кафедры математического анализа Белгородского муниципального института (управляющий проф.А.П.Бойцов), 2005г.;

в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2011г.;

в РУДН на семинаре по Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (управляющий проф.А.Л.Скубачевский), 2011г.

Результаты работы докладывались также на разных научных конференциях, в том числе, интернациональных. К примеру:

3-ем сибирском конгрессе по прикладной и промышленной арифметике Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (biprim –98), посвященном памяти С.Л. Соболева (Новосибирск, 1998);

Интернациональной научной конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Ильина (Стерлитамак,1998);

Интернациональной научной конференции «Актуальные препядствия арифметики и механики» (Казань, 2000);

Интернациональной конференции AMADE (Минск, Беларусь, 2003);

III интернациональной Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление конференции «Нелокальные краевые задачки и схожие препядствия математической биологии, информатики и физики»(Нальчик, 2006);

Интернациональной конференции "Современные препядствия арифметики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А.Садовничего (Москва, 2009).

Наименования других конференций Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление указаны в перечне литературы [25]-[29], [31], [33], [38]-[42], [44]- [46], [48]- [49], [51]- [54], [56]-[57], [59]- [61].

Публикации. По теме диссертации размещено 62 работы, в том числе 24 статьи - в журнальчиках, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Русской Федерации для публикации результатов исследований. Из общего Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление числа 9 выполнены в соавторстве с научным управляющим кандидатской диссертации, которому тут принадлежат постановки задач и общие идеи о вероятных путях их решения.

^ Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, 4 глав, разбитых на параграфы, перечня литературы из 206 наименований и занимает 263 страничек машинописного текста.

Нумерация параграфов делается одним эмблемой, а нумерация пт и подпунктов – 2-мя и 3-мя соответственно. Нумерация параграфов, пт и Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление подпунктов, также формул в каждой главе своя.


^ Короткое содержание работы

Во внедрении проведено обоснование темы диссертации и дан обзор работ, имеющих отношение к данной теме, также коротко охарактеризованы результаты создателя, изложенные в следующих главах.

^ В Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление первой главе «Задача Гурса» больших усилий востребовал вывод тождества, играющего роль (4).

Неувязка состояла в том, что закономерность построения упомянутого тождества, обнаруженная В.И.Жегаловым и В.А.Севастьяновым в процессе Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление их работы с уравнением Бианки, тут не действовала. Для установления подходящей закономерности рассматривались поначалу личные случаи при малых значениях . Более изученным предшественниками было обобщение уравнения Аллера

, (5)

для которого функция Римана определялась как решение задачки Гурса Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление при помощи некой задачки Коши. Таковой метод обеспечивает существование функции R, но вопрос о ее очевидном построении остается открытым. Наша работа тоже началась с уравнения (5). Функция Римана при всем Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление этом вводилась как решение интегрального уравнения

(6)



а разыскиваемое тождество было получено в форме

(7)

Потом рассматривались более сложные, чем (5), уравнения со старшими личными производными , , , и т.д. При всем этом была выделена некоторая «главная» часть (которая строилась по Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление тому же принципу, что и в случае уравнения Бианки, и присутствовала при каждом построении) и «остаток», который рассчитывался всякий раз методом вычитания левой и «главной» части тождества. Длительное время Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление не удавалось спрогнозировать вид этого «остатка». Излагать тщательно всю историю вопроса в диссертации представлялось нецелесообразным, потому был избран метод изложения, являющийся по воззрению создателя более обычным для восприятия: поначалу берется случай, когда в уравнение заходит Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление производная только по одной из переменных, а позже уже выполняются усложнения, которые более либо наименее естественным образом приводят к общему случаю.

^ Задачка Гурса (общая постановка): отыскать в D решение уравнения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (1) из класса

, удовлетворяющее условиям

, (8)

, ,

при этом граничные значения из (8) на ребрах D согласуются, а сами согласованные значения безпрерывно дифференцируемы.

Тут - класс непрерывных в вкупе с их производными (, ,…), функций.

В §1 главы 1 рассматривается уравнение (1) с дифференцированием Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление только по первой переменной. Задачка Гурса в этом случае перебегает в задачку Коши, формулируемую последующим образом.

^ Отыскать решение уравнения



при выполнении критерий



, .

Аналог тождества (7) в этом случае имеет вид



, если и в других случаях Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление; - биномиальные коэффициенты. Решение задачки Гурса строится методом интегрирования обозначенного тождества, но для этого последнее слагаемое в нем просит преобразования в другую форму, при этом установление этой формы представляло главную трудность. При малых m Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление удалось придти к ней аналитическим методом и спрогнозировать ее вид в общем случае. Потом к подтверждению обозначенной гипотетичной формулы был использован компьютерный способ. К огорчению, компьютерная составляющая ведет к Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление скоплению погрешности при вычислениях, потому окончательную формулу решения задачки Гурса можно считать доказанной с точностью до при m=40.

§2 и 3 посвящены исследованию уравнения (1) при , соответственно.

В §4 упомянутая схема рассуждений реализована уже для общего варианта Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление рассматриваемого уравнения (1). Для компактности записи используются мультииндексы.

Вывод обозначенной формулы может быть истолкован как подтверждение существования решения. Но мы приводим и независящее подтверждение существования и единственности решения. В процессе этого подтверждения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление выведена вспомогательная формула, которую можно считать интегральным аналогом формулы Лейбница, связанной с дифференцированием произведения. Таково содержание первой главы.

Приобретенная формула решения задачки Гурса служит основой для глав II-III, где она применяется в качестве Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление общего представления решений уравнения (1).

Если в задачке Гурса поменять хотя бы одно из граничных значений , на для некого , то получится новенькая задачка. Такие задачки с увеличением порядка обычных производных являются предметом исследования во Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление 2-ой главе «Повышение порядка обычных производных в граничных условиях».

В случае, когда наивысший порядок обычной производной на границе возрастает на единицу, такие задачки для уравнения (1) мы обозначаем как .

В §1 этой главы Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление рассматриваются задачки типа для уравнения (1) (при , и общий случай). Исследование начинается со случаев, когда заменяется одно условие лишь на одной характеристике. Выяснено, что тогда надлежащие значения Гурса определяются единственным образом. Приведем одну Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление из постановок обозначенных задач.

Задачка 2.1.1. Отыскать функцию , являющуюся в D решением уравнения (1) (при ), удовлетворяющую условиям



,

,

.

Редукция задачки 2.1.1 к задачке Гурса состоит в отыскании функции . Для ее определения было выведено интегральное уравнение Вольтерра. Выяснено Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, что нрав его разрешимости находится в зависимости от групп критерий:

1) . Функция записывается через резольвенту уравнения. Запись в очевидном виде обеспечивается хоть каким из наборов критерий:

1) и

, ;

2), , ;

3) и

, ;

4),, ,

при этом другие коэффициенты в Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление каждом случае считаем нулевыми.

Тут



Подобные задачки (2.1.1, 2.1.4, 2.1.5) рассматриваются в п.п.1.1,1.2.

В п.1.3 рассматриваются задачки, когда условия Гурса изменены на парах черт. Тут приходится изучить на разрешимость уже два интегральных уравнения, а сама картина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление разрешимости приобретает более разветвленный нрав. К примеру, если , то функции , зависят от одной случайной функции . Если же коэффициент , то и определяются совершенно точно. В каждой из задач 2.1.6 и 2.1.7 выделено по 25 вариантов. Потому Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление для малогабаритной записи результата в рассмотрение были введены особые матрицы-строки, элементами которых являются блоки из критерий на коэффициенты, обеспечивающие тот либо другой нрав разрешимости соответственных задач.

В п.1.4 рассмотрена одна Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление из задач, когда изменены данные Гурса уже на всех 3-х свойствах.

В п.1.5 рассуждения всераспространены на (1) в четырехмерном пространстве.

В п.1.6 рассматриваются задачки для общего уравнения (1).

Предстоящим шагом развития задач Гурса после являются Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление задачки , когда граничные условия заменяются на обычные производные, порядок которых увеличивается уже на по сопоставлению с наибольшим порядком производной в задачке Гурса на данной характеристике (он равен порядку уравнения по Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление соответственной переменной, уменьшенному на единицу).

В §2 той же главы при помощи обсуждаемого подхода рассматриваются задачки . Считаем порядок производной N превосходящим наивысший порядок граничного условия из задачки Гурса на данной характеристике больше чем на Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление единицу. Рассуждения ведутся сходу для общего уравнения (1). Подтвержден последующий итог о достаточных критериях редукции к задачке Гурса.

Аксиома 2.2.1. Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат классу и, не считая того, коэффициент при в левой Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление части



отличен от нуля, то задачка 2.2.1 редуцируется к задачке Гурса.

Тут может принимать значения 0,…,. Если , то ,



Только-только изложенные результаты вывели теорию общего уравнения (1) приблизительно на тот же уровень, на котором находилась теория уравнения Бианки Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

С другой стороны, как ранее говорилось выше, и для уравнения Бианки, и, тем паче, для общего уравнения (1) оставались неисследованными многие вопросы. К примеру, задачки типа Дирихле, задачки со смещением в граничных Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление критериях и др. Обозначенным вопросам посвящены следующие главы данной диссертации. Их, совместно с плодами главы II, можно рассматривать как области приложения результатов главы I.

В третьей главе «Задача Дирихле и нелокальные задачи» поначалу Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление рассматривается 1-ая из обозначенных задач для уравнений

(9)

и



В обоих случаях применяется однообразный подход, потому поясним подробнее идею этого подхода лишь на примере уравнения (9).

Задачка 3.1. В области , , , отыскать функцию , являющуюся в D решением Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление уравнения (9) и удовлетворяющую условиям

, ,

, .

Для нахождения решения были получены уравнения Фредгольма, которым удовлетворяют недостающие данные Гурса , . После чего способом априорных оценок выведены условия на коэффициенты (9), которые обеспечивают конкретную разрешимость этих уравнений Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Результатом проведенных рассуждений является

Аксиома 3.1. Если коэффициенты уравнения (9) удовлетворяют неравенствам

, ,,,

то задачка Дирихле имеет единственное решение.

Тут , .

Из нелокальных задач мы рассматриваем варианты, связанные с отысканием решений по соотношениям, связывающим значения разыскиваемой Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление функции в разных переменных точках, лежащих на границе и снутри рассматриваемой области (задачки со смещениями). 2-ой параграф третьей главы посвящен исследованию таких задач для уравнений с некратным и кратным дифференцированием. А конкретно Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, сначало рассматриваются задачки для 2-ух плоских уравнений с кратным дифференцированием – (5) и (9). Потом – задачки для уравнения Бианки в местах . Итог исследования каждой задачки сформулирован в виде аксиомы. Остановимся поначалу на одной из упомянутых задач для Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление n=2, сделав за ранее пояснения.

Обозначим точки, лежащие на границе и снутри области , , , , , . Точки, получаемые из подменой на обозначим соответственно через .

Задачка 3.3. Требуется отыскать функцию , являющуюся в D решением уравнения (5) и удовлетворяющую Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление последующим трем условиям







При всем этом на отрезках собственного определения.

Подтверждена

Аксиома 3.3. Задачка 3.3 при выполнении критерий

,

совершенно точно разрешима.

Задачка для уравнения Бианки в случае формулируется как

Задачка 3.5. Отыскать функцию , являющуюся в области Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление решением упомянутого уравнения и удовлетворяющую условиям

()

- перестановка чисел 1, 2, 3, , на соответственных гранях .

Результатом проведенных рассуждений является

Аксиома 3.5. Задачка 3.5 при данных критериях и неравенстве нулю определителя соответственной матрицы имеет единственное решение.

Все прошлые задачки рассматривались в характеристическом Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление параллелепипеде, а коэффициенты уравнения были довольно гладкими, чтоб обеспечить существование функции Римана, в определениях которой в конечном счете записывались решения задач. Но для (2) известен еще каскадный способ Лапласа, время от времени Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление позволяющий записывать в квадратурах представления решений уравнений, коэффициенты которых имеют особенности. Примером тут может служить отлично известное в математической физике уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

.

В связи с этим появилась мысль: попробовать Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление выделить из (1) с сингулярными коэффициентами такие случаи, которые исходя из убеждений способа Лапласа можно было бы рассматривать как аналоги уравнения ЭПД. Реализации этой идеи посвящена 4-ая глава «Уравнения с сингулярными коэффициентами». Были Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление построены последующие аналоги уравнения ЭПД.

1)В случае уравнения типа Аллера (со старшей производной ):

. (10)

2) Для общего уравнения (1) на плоскости:





3) В n – мерном пространстве





где

,

, , (),

, , , (),







Для неких построенных уравнений были поставлены задачки Гурса, также . Они несколько отличаются от Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление уже изложенных в главе I. А конкретно, изменяются как область (она выбирается так, чтоб в ней коэффициенты оставались гладкими), так и интегральное уравнение функции Римана, сопряженное уравнение и основное тождество. В п Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.1.1 упомянутый способ был использован поначалу к уравнению (5), для которого были получены пары групп критерий на коэффициенты (5), дозволяющие снизить порядок уравнения на единицу. Одной из обозначенных групп является набор

, , .

В п.1.2 были построены Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление аналоги уравнений ЭПД. Одним из таких уравнений можно считать (10). При всем этом было показано, что построение каскада удалось выполнить при неких дополнительных ограничениях на коэффициенты. Для этих уравнений в п.1.3 подверглись рассмотрению Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление характеристические задачки Гурса и .

^ Задачка Гурса. Пусть D- треугольная область, ограниченная чертами , и прямой . Найдем решение(10) , удовлетворяющее условиям

, , , (11)

, , , .

Подтверждена

Аксиома.Задачка Гурса (10), (11) совершенно точно разрешима.

В п.1.4 подобные рассуждения были проведены для уравнения (9), а потом - для Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление общего уравнения на плоскости.

2-ой параграф посвящен распространению результатов на случай трехмерного места.

При всем этом в п.2.1 рассматривается уравнение Бианки, а потом (в п.2.2)- уравнение (1) в трехмерном пространстве Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

3-ий параграф посвящен общему уравнению ЭПД в n-мерном пространстве.

§4 посвящен граничным задачкам типа Г1, которые в п.4.1 рассматриваются для уравнения 4-ого порядка.

В заключение сформулируем главные положения, выносимые на защиту:

-Построена формула решения задачки Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Гурса для общего уравнения (1).

-Исследованы вопросы разрешимости новых характеристических задач с нормальными производными в граничных критериях.

-Выведены достаточные условия существования и единственности решения задачки Дирихле для уравнений 4-ого и шестого Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление порядка в двух- и трехмерном местах.

-Исследованы новые задачки со смещениями в граничных критериях для уравнений с кратным дифференцированием и уравнений Бианки 3-х и 4 измерений.

-Для уравнения (1) с сингулярными коэффициентами построены аналоги уравнения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Эйлера-Пуассона-Дарбу и для их решены задачки типа Гурса.


^ Публикации создателя по теме диссертации.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журнальчиках, включенных в Список ВАК РФ

1.Жегалов,В.И.Об одном псевдопараболическом Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление уравнении третьего порядка/В.И.Жегалов,Е.А.Уткина//Изв.вузов.Математика.1999.№10. С.7376.0,25 п.л.

2.Жегалов,В.И.Задачка Гурса для 1-го трехмерного уравнения со старшейличнойпроизводной/В.И.Жегалов,Е Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.А.Уткина//Изв.вузов.Матема-тика.2001.№11.С.7781.0,313 п.л.

3.Жегалов,В.И.Об одном уравнении в личных производных 4-ого порядка с 3-мя независящими переменными/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Дифференц. уравнения.2002.Т Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.38.№1.С.9397.0,313 п.л.

4.Уткина,Е.А.ОзадачкахГурсасдополнительныминормальными про-изводнымивкраевыхкритериях/Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика.2004. №3.С.6165.0,313 п.л.

5.Уткина,Е.А.Об одном дифференциальном уравнении Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление со старшей личной производной в трехмерном пространстве/Е.А.Уткина//Дифференц. уравнения.Т.41.№5.2005.С.697701.0,313 п.л.

6.Уткина,Е.А.К общему случаю задачки Гурса/ Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика.2005.№8.С Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.5762.0,375 п.л.

7.Уткина,Е.А.Об одном уравнении в личных производных с син-гулярнымикоэффициентами/Е.А.Уткина//Изв.вузов.Математика.2006.№9 С. 6770.0,25 п.л.

8.Уткина,Е.А.Об одном применении Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление способа каскадного интегри-рования/ Е.А.Уткина// Дифференц. уравнения.2007.Т. 43.№ 4.C.566569. 0,25 п.л.

9.Уткина,Е.А. Увеличение порядка обычных производных в граничных критериях задачки Гурса/Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика.– 2007.– №3.– С. 79–83.0,313 п.л.

10.Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,Е.А.Об одной краевой задачке со смещениями в четырехмерномпространстве/Е.А.Уткина//Изв.вузов.Математика.2009. №3.С. 50–55. 0,375 п.л.

11.Уткина,Е.А.Задачка со смещениями для трехмерного уравнения Бианки/ Е.А Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.Уткина//Дифференц. уравнения.2010.Т. 46.№ 4.С. 535–539. 0,313 п.л.

12.Уткина,Е.А.ЗадачкаДирихледля1-гоуравнения4-ого по-рядка/ Е.А.Уткина //Дифференц. уравнения.–2011.–Т.47.–№4.–С.400–404. 0,313 п.л.

13.Уткина,Е Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.А.Аксиома единственности решения одной задачки Дирих-ле/ Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика.–2011.– №5.– С. 62–67.0,375 п.л.

14.Уткина,Е.А.ОбоднойтрехмернойзадачкеГурса/Е.А.Уткина//Вест-ник Самарского муниципального технического института. Серия Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление физ.-мат.науки.2001.Вып. 12.С.3035.0,375 п.л.

15.Уткина, Е.А.К задачкам с критериями на свойствах для общего псевдопараболического уравнения/Е.А.Уткина//Вестник Самарского госу-дарственного технического института Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Серия «Математическая».2003. №2.С.217223.0,438 п.л.

16.Уткина, Е.А. Вариант способа Римана в четырехмерном евклидовом пространстве/Е.А.Уткина//Вестник Самарского муниципального техни-ческого института. Серия «Математическая».2004.№3.С.6380.1,5 п.л.

17.Уткина,Е.А.ЗадачкаГурса Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управлениедля1-гоn-мерногоуравнения/ Е.А.Уткина//Вестник Самарского муниципального института. Спец. выпуск.2004.С.6467.0,25 п.л.

18.Уткина,Е.А. О задачках со смещениями в граничных критериях для 2-ух уравнений Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление с личными производными/ Е.А.Уткина// Уч.записки Казанского института. Серия физ.-мат.науки.– 2006.–Т.148,книжка 3.– С.76–82. 0,438 п.л.

19.Уткина,Е.А. Об одном обобщении интегральных уравнений Вольтера/Е.А.Уткина//Вестник Монгольского муниципального Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление гуманитарно-педа-гогического института.–2006.–№7.– С. 90–93.0,25 п.л.

20.Уткина,Е.А.Кзадачкам со смещениями для четырехмерного уравнения Бианки/Е.А.Уткина//Вестник Самарского муниципального института. Естественнонауч.серия.2008.№8/2.С.212221.0,625 п.л.

21. Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,Е.А. Задачка Неймана для 1-го уравнения 4-ого порядка/Е.А.Уткина//Вестник Самарского муниципального технического института. Серия физ.-мат. науки.– 2009. – № 2 (19).–С. 1–9.0,563 п.л.

22.Уткина,Е.А.Задачка Дирихле для 1-го Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление трехмерного уравнения/ Е.А.Уткина//ВестникСамарскогомуниципальногоинститута. Естествен-нонауч. серия.–2010.–№2(76).–С.84–95.0,75 п.л.

23.Уткина,Е.А. О единственности решения полуинтегральной задачки для 1-го уравнения 4-ого порядка/ Е.А.Уткина // Вестник Самарского муниципального института Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Естественнонауч.серия.–2010.–№4(78).–С.98 – 102.0,313 п.л.

24.Utkina,Е.А. On a partial differential equation in 4-dimensional Euclidean space/ Е.А.Utkina//Lobachevskii Journal of Mathematics.–2005.–Vol.18. – P. 151–175.1,5 п.л.

Публикации в других изданиях

25.Жегалов Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,В.И.Вариант способа Римана для 1-го уравнения третьего по­рядка/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Труды седь­мой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».– Самара, 1997.– Ч.3. – С.32–33.0,125 п Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.л.

26.Жегалов,В.И.Случаи очевидного решения задачки Гурса для 1-го псевдопара­болического уравнения третьего порядка/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Труды третьей интернациональной конференции «Дифференциальные уравне­ния и их Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление приложения».–Саранск,1998.–С.27.0,063 п.л.

27.Жегалов,В.И.Один пространственный вариант задачки Гурса/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Труды X межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи».– Самара,2000.– Ч.З.–С Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. 65–67.0,188 п.л.

28.Жегалов,В.И.Задачка Гурса для 1-го урав­нения в трехмерном пространстве/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Материалы интернациональной научной конф. «Актуальные препядствия арифметики и механики».– Казань, 2000.–С Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.270–271.0,125 п.л.

29.Жегалов, В.И. Краевая задачка со смещениями в / В.И.Жегалов, Е.А.Уткина//Материалы докладов III интернациональной конференции «Нело-кальные краевые задачки и схожие препядствия матем.биологии, инфор-матики и физики Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление».–Нальчик: Изд-во «Эльбрус», 2006.–С.118–120.0,188 п.л.

30.Жегалов,В.И.Трехмерная нелокальная задачка с нормальными производными в граничных критериях/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Известия РАЕН. Дифференц. уравнения.–Рязань: Рязанский муниципальный Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление универ-ситет, 2006.– № 11.– С. 86–87.0,125 п.л.

31.Уткина,Е.А. Некие видоизменения граничных условии одной задачки Гурса/ Е.А.Уткина//Материалы конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию Б.М. Гагаева.– Казань,1997.– С.221–222.0,125 п Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.л.

32.Уткина,Е.А.Об одном псевдопараболическом уравнении 4-ого по­рядка/ Е.А.Уткина// Тезисы докладов Третьего сибирского конгресса по прикладной и промышленной арифметике, посвященного памяти С.Л.Собо-лева.– Новосибирск,1998.– С.42.0,063 п.л Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

33.Уткина,Е.А. Некие видоизменения граничных критерий одной задачки Гурса/ Е.А.Уткина// Сб. трудов интернациональной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смеж­ные вопросы», посвященной 70-летию акад. В.А. Ильина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, г. Стерлитамак.– Уфа: Изд-во Гилем, 1998.– Ч.1.– С.59–60.0,125 п.л.

34.Уткина,Е.А. К характеристическим задачкам для псевдопараболи-ческих уравнений третьего и 4-ого порядка/ Е.А.Уткина/ Казанский ун-т Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.– Казань, 1999.– 31с. Деп. в ВИНИТИ 29.01.99, №277–В99.1,938 п.л.

35.Уткина,Е.А. К решению одной задачки Гурса/ Е.А.Уткина/ Казанский ун-т.– Казань, 1999.– 35с. Деп. в ВИНИТИ 26.02.99, №578–899.2,188 п.л.

36.Уткина,Е Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.А. О очевидной редукции характеристических задач с нор-мальными производными высочайшего порядка к задачке Гурса/ Е.А.Уткина/ Казанский ун-т.– Ка­зань, 1999.– 27с. Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, №818–899. 1,688 п.л.

37.Уткина,Е.А. Об Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление одном уравнении в личных производных четвер-того по­рядка/ Е.А.Уткина/ Ред. ж. "Дифференц. уравнения".– Минск, 1999.–13с. Деп. В ВИНИТИ 28.06.99, №2059–В99.0,813 п.л.

38.Уткина, Е.А. Граничные характеристики решений задачки Гурса для 1-го Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление урав­нения 4-ого порядка/ Е.А.Уткина// Труды IX межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи».– Самара, 1999.–Ч. З.–С. 134–139.0,375 п.л.

39.Уткина,Е.А.Ободнойхарактеристическойзадачке/Е.А Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.Уткина// Материалы научной конференции, посвященной 125-летию Казанского муниципального педагогического института «Проблемы современной математики». Труды математического центра им.Лобачевского.– Казань: Казанское математическое общество, 2001.–Т.11.–С.261–263.0,188 п.л.

40.Уткина,Е.А. О неких трехмерных характеристических Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление задачках/ Е.А.Уткина//Трудыинтернациональнойнаучнойконференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».–Самара,2002.–С.353–355.0,188 п.л.

41.Уткина,Е.А.Об одной плоской характеристической задачке/ Е.А.Уткина// Труды интернациональной конференции Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление «Спектральная теория дифференциальных операторов и схожие проблемы» , г. Стерлитамак.– Уфа: Изд-во Гилем, 2003.–Т.1.–С.239–240.0,125 п.л.

42.Уткина,Е.А. Вариант каскадного способа для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява/Е.А.Уткина// Материалы 6-й Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Казанской интернациональной школы-конференции «Теория функций и ее приложения». Труды математического центра им.Лобачевского.–Казань, 2003.–Т.19.–С.219–220. 0,125 п.л.

43.Уткина,Е.А.Об одной трехмерной характеристической задачке/ Е.А.Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление// Аналитические способы анализа и дифференциальных уравнений. Сб. тезисов интернациональной конференции AMADE. Минск. Ин-т матем.НАН Беларуси, 2003.– С.175. 0,063 п.л.

44.Уткина,Е.А. К граничным задачкам для псевдопараболического уравнения высочайшего порядка/Е.А Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.Уткина// Материалы интернационального российско- узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и схожие препядствия анализа и информатики».– Нальчик: Изд-во «Эльбрус», 2003.–С.90–91.0,125 п.л.

45.Уткина,Е.А. Одновременное обобщение интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление/ Е.А.Уткина// Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского.–Казань, 2003.– Т.21. –С.221–223.0,188 п.л.

46.Уткина,Е.А. К краевым задачкам для 1-го трехмерного уравнения Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление высочайшего порядка/ Е.А.Уткина// Материалы XL всероссийской конференции по дилеммам арифметики, информатики, физики и химии.–Москва: Издательство РУДН, 2004.– С.28–31.0,25 п.л.

47.Уткина,Е.А. О повышении порядка обычных производных Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление в граничных критериях одной пространственной задачки Гурса/Е.А.Уткина// Известия РАЕН. Дифференц. уравнения.– Рязань: Рязанский муниципальный институт, 2004.–№ 8.– С. 92 – 97.0,375 п.л.

48.Уткина,Е.А. Об одном пространственном уравнении в личных производных шестого порядка/ Е.А Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.Уткина// Труды Всероссийской конференции «Современные задачи физики и математики», г. Стерлитамак.– Уфа: Изд-во Гилем, 2004. – Т.1. – С.108–112.0,417 п.л.

49.Уткина,Е.А. Об одном аналоге уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу/ Е.А.Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление//Материалы интернациональной научной конференции «Актуальные задачи арифметики и механики». Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского.–Казань, 2004.– Т.25.–С.267–269.0,188 п.л.

50.Уткина,Е.А. Об одной неклассической задачке для псевдопараболического уравнения/Е Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.А.Уткина// Вестник Казанского муниципального педагогического института.–2004.–№2.– С.25–31.0,438 п.л.

51.Уткина,Е.А. Об одном уравнении в личных производных высочайшего порядка с сингулярными коэффициентами/ Е.А.Уткина// Труды 2-ой Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».– Самара, 2005.– Ч. 3. – С.236–239.0,25 п.л.

52.Уткина,Е.А. К развитию способа Лапласа для 1-го общего трехмерного уравнения/ Е.А.Уткина// Труды интернациональной научной конференции Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление «Современные способы физико-математических наук».– Орел, 2006.– С.126–129.0,25 п.л.

53.Уткина,Е.А. Краевая задачка со смещениями в / Е.А.Уткина// Материалы III интернациональной конференции «Нелокальные краевые задачки и схожие задачи математической биологии, информатики и Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление физики».–Нальчик: Изд-во «Эльбрус», 2006. –С.118–120.0,188 п.л.

54.Уткина,Е.А. Нелокальная краевая задачка для уравнения Бианки в / Е.А.Уткина// Труды интернациональной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».– Самара, 2007.–С Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.45–48.0,25 п.л.

55.Уткина,Е.А. Об одном уравнении в личных производных третьего порядка с сингулярными коэффициентами/ Е.А.Уткина // Вестник Самарского муниципального технического института.–2007.–№5.–С.110–113. 0,25 п.л.

56.Уткина,Е.А. Задачка со смещениями в Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление граничных критериях для общего уравнения с оператором Аллера/ Е.А.Уткина// Материалы Восьмой интернациональной Казанской летней научной школы-конференции. Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского.–Казань, 2007.–Т.35.–С.251–253. 0,188 п.л.

57.Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,Е.А. Задачка со смещениями в граничных критериях для общего псевдопараболического уравнения на плоскости/ Е.А.Уткина// Материалы 6-ой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения 2007». Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.–Казань, 2007.– Т.36.– С.229–232.0,25 п.л.

58.Уткина,Е.А.Об одной трехмерной нелокальной задачке для уравнения 4-ого порядка/ Е.А.Уткина// Вестник Самарского муниципального технического института. Серия «Математическая».–2007.–№6.– С. 110–115.0,375 п.л.

59.Уткина Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,Е.А. Задачка со смещениями для уравнения 5-ого порядка в / Е.А.Уткина// Материалы Интернационального Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и схожие препядствия анализа и информатики».–Нальчик: Изд-во «Эльбрус Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»,2008.– С.164–166.0,188 п.л.

60.Уткина,Е.А. Краевая задачка со смещениями для четырехмерного уравнения Бианки/ Е.А.Уткина// Труды участников Интернациональной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.–Ростов-на Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление-Дону, 2008.–Секция 3.–С.249–251.0,188 п.л.

61.Уткина,Е.А. Об одном обобщении задачки Гурса/ Е.А.Уткина// Труды интернациональной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», г.Стерлитамак. – Уфа: Изд-во Гилем, 2008. – Т.1. – С Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.209–215.0,438 п.л.

62.Уткина Е.А. Об одной задачке с интегральным граничным условием для уравнения Бианки в / Е.А.Уткина// Материалы интернациональной конференции "Современные препядствия арифметики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление академика В.А.Садовничего.–Москва, 2009.– С. 223.0,063 п.л.

Публикации [1], [25]–[27], [33]–[38] относятся к периоду работы над кандидатской диссертацией, но я сочла вероятным включить их и в представленный перечень, так как данная диссертация является Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление ее конкретным развитием. А конкретно, в ней изучались характеристические задачки (Гурса, , ) для обобщений уравнений Аллера и Буссинеска-Лява, также задачка Гурса для (1) при .

В заключение пользуюсь случаем, чтоб выразить признательность руководителям Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление и участникам семинаров, на которых докладывались результаты диссертации: их вопросы и замечания значительно учитывались потом в моей работе. Я от всей души признательна научному консультанту доктору Валентину Ивановичу Жегалову за неизменное внимание Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными 01. 01. 02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление к работе.

1Джохадзе О.М.// Дифференциальные уравнения, 2004.-Т.10,№1.-С.58-68.


2 Матем.сборник, 1958.-Т.451(87), №3.-С.281-322.



h-evrazijskih-mezhregionalnih-bogorodice-rozhdestvenskih-obrazovatelnih-chtenij.html
h-gruppi-issleduemih-prikaz-12-07-2012-g-kiev-523-zaregistrirovano-v-ministerstve-yusticii-ukraini-20-iyulya.html
h-iii-vserossijskaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-energoeffektivnost-sistem-zhizneobespecheniya-goroda.html