Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7-8

ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений I-го и II-го порядка.

ЦЕЛЬ: Проверить на практике познание понятия дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, умение решать дифференциальные уравнения I и II –го порядков, отыскивать общее и личное решение.


Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической советы к практической работе.

Практические задания по вариантам.

Ход работы:

Теоретический Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня материал и примеры решения дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Решить дифференциальное уравнение – это означает, отыскать огромное количество функций , которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое огромное количество функций именуется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

.

В рассматриваемом примере переменные просто делятся перекидыванием множителей по Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня правилу пропорции:

Переменные разбиты. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Последующий шаг – интегрирование дифференциального уравнения.Интегрируем обе части:


Решение дифференциального уравнения в неявном виде именуется общим интегралом дифференциального уравнения. Другими словами, – это общий интеграл.

Заместозаписи обычно пишут .

В этом случае:

Функция представлена в очевидном Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня виде. Это и есть общее решение.

Огромное количество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе разные значения, можно получить нескончаемо много личных решений дифференциального уравнения.

Пример 2

Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходному условию

По условию требуется отыскать личное решение ДУ, удовлетворяющее исходному условию. Такая постановка вопроса также именуется задачей Коши Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

Поначалу находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение: . На оканчивающем шаге необходимо отыскать личное решение, удовлетворяющее данному исходному условию .

Нужно подобрать такое значение константы , чтоб производилось данное изначальное условие .

В общее решение заместо «икса» подставляем ноль, а заместо «игрека» двойку:

В общее решение подставляем отысканное значение константы :
– это Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня и есть необходимое нам личное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в подходящем нам виде:

Переносим 2-ое слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разбиты, интегрируем обе части:



Решение распишу очень тщательно:


Ответ: общий интеграл:

Примечание:общий интеграл хоть какого уравнения можно записать не единственным Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня методом. Таким макаром, если у вас не совпал итог с заблаговременно известным ответом, то это еще не означает, что вы некорректно решили уравнение.

Пример 4

Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходному условию . Выполнить проверку.

Решение:Поначалу найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а означает, решение упрощается. Разделяем Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня переменные:

Интегрируем уравнение:


общее решение:

Найдем личное решение, соответственное данному исходному условию

Подставляем отысканное значение константы в общее решение.

Ответ: личное решение:

2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с неизменными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с неизменными коэффициентами имеет последующий вид Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня:


, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с неизменными коэффициентамиимеет вид:
, где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простом случае функция может быть числом, хорошим от нуля.

Какая идея приходит в голову после беглого взора?

Неоднородное уравнение кажется труднее Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Сейчас 1-ое воспоминание не подводит!

Не считая того, чтоб научиться решать неоднородные уравнения нужно уметь решать однородные уравнения. По этой причине поначалу разглядим метод решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтоб решить данное ДУ, необходимо составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, отчётливо видно:
заместо 2-ой производной записываем ;
заместо первой производной записываем просто «лямбду»;
заместо функции ничего не записываем.

– это обыденное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Есть три варианта развития событий.
Они подтверждены в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два разных реальных корня

Если характеристическое Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня уравнение имеет два разных реальных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения смотрится так:
, где – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение естественным образом упрощается; пусть, к примеру, , тогда общее решение:

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,

Ответ: общее Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня решение:


h-kursov-vseh-fakultetov-po-toksikologii-ekstremalnih-situacij-i-medicinskoj-zashite-ot-radiacionnih-i-himicheskih-porazhenij.html
h-opredelenie-pobeditelej-i-prizerov.html
h-osobennosti-provedeniya-priema.html